내적과 코사인 법칙으로 보는 AI 유사도 측정 원리

챗GPT 추천이나 영화 추천처럼 AI가 두 대상의 유사도를 재는 원리로서 내적을 소개하는 강좌입니다. 수레 끄는 물리 비유와 코사인 법칙 유도를 통해 내적 공식을 증명하고, 양수·0·음수의 의미와 코사인 유사도, 뉴런 내부 연산과의 연결을 설명합니다.

⏱ 00:07챗GPT에 질문하거나 넷플릭스가 영화를 추천할 때, 시스템은 두 개념이 얼마나 비슷한지 먼저 파악해야 합니다. 강의는 이를 위해 쓰이는 수학 도구인 내적(dot product)을 소개하며, 원리를 이해하기 위해 물리적 예시부터 살펴봅니다.

⏱ 00:34톰과 레오가 무거운 수레를 함께 끄는 상황을 벡터 화살표로 나타냅니다. 두 힘의 방향이 같으면 힘이 완벽히 합쳐지고, 90도로 직각을 이루면 한쪽 힘은 수레를 앞으로 움직이는 데 기여하지 못합니다. 정반대 방향이면 힘이 서로 상쇄되어 수레가 움직이지 않습니다.

이처럼 한 힘이 다른 힘을 얼마나 돕거나 방해하는지 계산하는 것이 바로 내적의 역할이라고 설명합니다.

⏱ 01:43삼각형의 두 변을 벡터로 바꾸어 코사인 법칙을 벡터 표기법으로 옮깁니다. 두 벡터 R과 S로 삼각형을 만들면 세 번째 변은 R에서 S를 뺀 벡터 R-S가 됩니다. 이 벡터들의 크기를 코사인 법칙에 대입하면 두 벡터의 크기와 사이 각도만으로 기하학적 관계를 측정하는 식을 얻습니다.

⏱ 02:34벡터 크기의 제곱은 자기 자신과의 내적과 같다는 점을 이용해 좌변을 (R-S)와 (R-S)의 내적으로 바꿉니다. 분배 법칙으로 전개하면 내적의 교환 법칙 덕분에 중간 항이 합쳐져 R 크기의 제곱, -2(R과 S의 내적), S 크기의 제곱이 됩니다.

양변에서 같은 제곱 항을 지우고 정리하면 R과 S의 내적은 R의 크기 곱하기 S의 크기 곱하기 코사인 세타와 같다는 핵심 공식이 나옵니다.

⏱ 03:570도, 90도, 180도, 45도 등 구체적인 예로 공식을 검증합니다. 같은 방향의 벡터는 내적이 양수 6, 직교하는 벡터는 0, 반대 방향은 음수가 나옵니다. 45도 예시에서는 대수적 계산과 기하학적 공식 모두 1이 나와 두 방법이 일치함을 보여 줍니다.

양수는 강한 정렬로 일치 항목을, 0은 관련 없음을, 음수는 상반된 대상을 뜻한다고 해석합니다.

⏱ 05:22벡터 길이가 1인 단위 벡터를 쓰면 공식에서 크기 항이 사라져 코사인 세타만 남습니다. 이를 코사인 유사도라고 하며, 값이 1에서 -1 사이로 고정되어 검색 엔진의 순위 산정이나 얼굴 인식 등에 활용됩니다.

또한 단일 AI 뉴런은 입력에 가중치를 곱해 합산하는데, 이 연산이 말 그대로 내적 계산이라고 설명합니다.

⏱ 06:29핵심 내용을 정리합니다. 첫째, 양수는 정렬, 0은 직교, 음수는 반대를 의미합니다. 둘째, AI는 이 논리로 유사도를 측정합니다. 셋째, 내적 계산은 뉴런 내부의 근본 연산입니다.

다음 강의에서는 벡터 투영으로 한 벡터가 다른 벡터에 드리우는 그림자를 계산하는 방법을 다룰 예정이며, 내적은 두 벡터가 수학적으로 얼마나 일치하는지를 묻는 도구라는 점을 기억하라고 마무리합니다.