머신러닝을 위한 수학: 선형대수·미적분·통계 입문

머신러닝의 기초 수학 중 선형대수를 소개하는 입문 강좌의 첫 영상들입니다. 사과와 바나나 가격을 찾는 연립방정식 문제와 데이터에 식을 맞추는 최적화 문제를 예로 들어, 벡터가 왜 필요한지 직관적으로 설명합니다. 매개변수 공간에서 오차가 가장 작은 지점을 찾는다는 관점이 이후 미적분과 연결됩니다.

⏱ 00:00강사는 머신러닝이 복잡한 세상을 표현하고 해석하고 제어하는 수학 도구의 모음이라고 설명합니다. 수학이 낯설게 느껴지는 사람도 직관을 먼저 쌓으면 응용 강좌로 자연스럽게 넘어갈 수 있다는 것이 이 시리즈의 목표입니다.

라이브러리로 많은 모델을 쓸 수 있지만 수학 언어를 모르면 문제가 생겼을 때 원인을 찾고 고치기 어렵다고 짚습니다. 이 첫 강좌는 행렬과 벡터를 다루는 선형대수 입문이며, 이후 모듈에서는 퀴즈와 대화형 위젯으로 벡터와 변환에 대한 감각을 기르게 됩니다.

⏱ 02:30첫 번째 예로 사과와 바나나 가격을 찾는 문제가 나옵니다. 두 번의 장보기에서 사과와 바나나의 개수와 총액을 알고 있을 때 각각의 단가를 구하려면 연립방정식을 풀어야 하는데, 품목과 쇼핑 횟수가 많아지면 손으로 풀기 어려워 컴퓨터 알고리즘이 필요해집니다.

이 문제는 계수, 입력 변수, 출력값을 벡터와 행렬로 묶어 표현할 수 있는 전형적인 선형대수 문제입니다. 강의는 이후 벡터와 행렬의 의미와 다루는 법을 익힌 뒤 일반적인 해법으로 돌아온다고 예고합니다.

⏱ 06:00두 번째 예는 데이터에 방정식을 맞추는 문제입니다. 사람들의 키 분포처럼 히스토그램으로 본 데이터를 평균과 폭을 나타내는 몇 개의 매개변수로 된 식 하나로 요약하면, 원본 데이터 없이도 분포를 간편하게 다룰 수 있고 개인정보 문제도 줄일 수 있다고 설명합니다.

강사는 신경망과 머신러닝에서는 컴퓨터가 식의 매개변수뿐 아니라 어떤 식을 쓸지도 찾아야 한다고 덧붙입니다. 벡터는 물리 공간의 화살표만이 아니라 여러 속성을 나열한 목록으로도 볼 수 있다는 점을 이후 설명의 출발점으로 삼습니다.

⏱ 07:09키 분포를 평균 mu와 퍼짐 sigma를 매개변수로 하는 정규분포, 즉 가우시안으로 맞추는 예를 듭니다. 이 식은 넓이가 1이 되도록 정규화되어 있고, 두 매개변수만 바꾸면 분포의 중심과 퍼짐이 달라집니다.

적합이 좋은지 판단하려면 측정값과 예측값의 차이를 모두 더하되, 양수와 음수가 서로 상쇄되지 않도록 차이를 제곱해서 합칩니다. 이 합이 작을수록 맞춤이 좋다는 뜻이며, 이 값을 매개변수의 함수로 보면 최적의 mu와 sigma를 찾는 문제가 됩니다.

⏱ 10:00매개변수 공간에서 적합의 나쁨 정도를 높이로 나타내면 등고선이 있는 지형처럼 보입니다. 가장 좋은 지점은 골짜기의 바닥이며, 모든 점에서 값을 계산하는 대신 몇 번의 시도로 골짜기 쪽으로 내려가는 것이 목표입니다.

어떤 방향으로 조금 움직이면 적합이 좋아지는지 확인하고, 가장 가파르게 내려가는 방향을 찾는 것이 핵심 아이디어입니다. 이 방향을 계산하려면 벡터와 미적분, 특히 함수의 기울기 개념이 필요하며 이것이 이후 강좌에서 다룰 다변수 미적분과 연결됩니다.

⏱ 12:17벡터는 꼭 물리적 공간의 화살표일 필요가 없고, 대상의 속성을 차례로 적은 목록으로도 표현할 수 있습니다. 예로 자동차의 가격, 이산화탄소 배출량, 질소산화물 배출, 안전 등급, 최고 속도를 한 줄의 벡터로 쓰는 방식을 듭니다.

재료공학에서는 합금의 성분 구성을 벡터로 나타내고, 아인슈타인이 시간을 네 번째 차원으로 놓고 시공간을 네 차원 벡터로 본 사례를 소개합니다. 이렇게 보면 함수의 매개변수 전체를 하나의 공간으로 여기고, 벡터는 그 공간 안에서 움직이는 이동으로 이해할 수 있습니다. 결국 목표는 오차를 최소화하고 데이터에 가장 잘 맞는 지점을 그 공간에서 찾는 것입니다.